functions.phpに下記のコードを追記

function remove_bar_menus( $wp_admin_bar ) {
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'wp-logo' );      // ロゴ
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'site-name' );    // サイト名
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'view-site' );    // サイト名 -> サイトを表示
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'dashboard' );    // サイト名 -> ダッシュボード (公開側)
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'themes' );       // サイト名 -> テーマ (公開側)
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'customize' );    // サイト名 -> カスタマイズ (公開側)
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'comments' );     // コメント
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'updates' );      // 更新
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'view' );         // 投稿を表示
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'new-content' );  // 新規
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'new-post' );     // 新規 -> 投稿
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'new-media' );    // 新規 -> メディア
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'new-link' );     // 新規 -> リンク
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'new-page' );     // 新規 -> 固定ページ
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'new-user' );     // 新規 -> ユーザー
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'my-account' );   // マイアカウント
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'user-info' );    // マイアカウント -> プロフィール
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'edit-profile' ); // マイアカウント -> プロフィール編集
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'logout' );       // マイアカウント -> ログアウト
    $wp_admin_bar->remove_menu( 'search' );       // 検索 (公開側)
}
add_action('admin_bar_menu', 'remove_bar_menus', 201);

各項目は必要に応じて削除する。